Kazun の競プロ記録

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AtCoder Beginner Contest 259 B問題 Counterclockwise Rotation

AtCoder ABC ABC259 B問題 200 pts

問題

提出解答

問題の概要

右手系の座標平面上の点 $(a,b)$ を原点中心に $d$ 度反時計回りに回転させた後の点の座標を求めよ.

制約

$-1000 \leq a,b \leq 1000$
$1 \leq d \leq 360$

解法

点 $P=(a,b)$ を極座標に変換する. つまり, $(a,b)$ から次を満たす非負実数 $r \geq 0$ と実数 $\theta \in \mathbb{R}$ を求める.

原点 $O$ と点 $P$ との距離が $r$ であり, $x$ 軸の正の部分から線分 $OP$ まで反時計回りに測った角度が $\theta$ である.

実は, $a=r \cos \theta, b=r \sin \theta$ という関係式があり, この関係式から, $r, \theta$ をそれぞれ次のようにして求められる *1.

$r=\sqrt{r^2}=\sqrt{r^2 (\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)}=\sqrt{(r \cos \theta)^2+(r \sin \theta)^2}=\sqrt{x^2+y^2}$

$a \neq 0$ のとき, $\frac{b}{a}=\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}=\tan \theta$ なので,

$\theta=\begin{cases} 0 & (a=0, b \geq 0) \\ \pi & (a=0, b \lt 0) \\ \operatorname{Tan}^{-1} \frac{b}{a} & (a \neq 0) \end{cases}$

この $r, \theta$ を利用すると, 求めるべきは $P$ を原点中心に $d \times \dfrac{\pi}{180}$ だけ反時計回りに回転させた点なので, 原点との距離が $r$ で, 偏角が $\left(\theta+ d \times \dfrac{\pi}{180} \right)$ の点なので

$\left(r \cos \left(\theta+ d \times \dfrac{\pi}{180} \right), r \sin \left(\theta+ d \times \dfrac{\pi}{180} \right) \right)$

である.

*1:原点の偏角は人や場合によることが多い.